九章算术
卷九
《》作者：张苍
○句股（以御高深广远） 今有句三尺，股四尺，问为弦几何？答曰：五尺。
今有弦五尺，句三尺，问为股几何？答曰：四尺。
今有股四尺，弦五尺，问为句几何？答曰：三尺。
句股 〔短面曰句，长面曰股，相与结角曰弦。
句短其股，股短其弦。
将以施于诸 率，故先具此术以见其源也。
〕 术曰：句、股各自乘，并，而开方除之，即弦。
〔句自乘为朱方，股自乘为青方。
令出入相补，各从其类，因就其余不移动 也，合成弦方之幂。
开方除之，即弦也。
〕 又，股自乘，以减弦自乘。
其余，开方除之，即句。
〔淳风等按：此术以句、股幂合成弦幂。
句方于内，则句短于股。
令股自乘， 以减弦自乘，余者即句幂也。
故开方除之，即句也。
〕 又，句自乘，以减弦自乘。
其余，开方除之，即股。
〔句、股幂合以成弦幂，令去其一，则余在者皆可得而知之。
〕 今有圆材，径二尺五寸。
欲为方版，令厚七寸，问广几何？答曰：二尺四寸。
术曰：令径二尺五寸自乘，以七寸自乘，减之。
其余，开方除之，即广。
〔此以圆径二尺五寸为弦，版厚七寸为句，所求广为股也。
〕 今有木长二丈，围之三尺。
葛生其下，缠木七周，上与木齐。
问葛长几何？ 答曰：二丈九尺。
术曰：以七周乘围为股，木长为句，为之求弦。
弦者，葛之长。
〔据围广，求从为木长者其形葛卷裹袤。
以笔管，青线宛转，有似葛之缠木。
解而观之，则每周之间自有相间成句股弦。
则其间葛长，弦。
七周乘围，并合众 句以为一句；木长而股，短；术云木长谓之股，言之倒。
句与股求弦，亦无围。
弦之自乘幂出上第一图。
句、股幂合为弦幂，明矣。
然二幂之数谓倒在于弦幂之 中而已。
可更相表里，居里者则成方幂，其居表者则成矩幂。
二表里形讹而数均。
又按：此图句幂之矩青，卷白表，是其幂以股弦差为广，股弦并为袤，而股幂方 其里。
股幂之矩青，卷白表，是其幂以句弦差为广，句弦并为袤，而句幂方其里。
是故差之与并用除之，短、长互相乘也。
〕 今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。
引葭赴岸，适与岸齐。
问水深、葭 长各几何？答曰：水深一丈二尺。
葭长一丈三尺。
术曰：半池方自乘， 〔此以池方半之，得五尺为句；水深为股；葭长为弦。
以句、弦见股，故令 句自乘，先见矩幂也。
〕 以出水一尺自乘，减之。
〔出水者，股弦差。
减此差幂于矩幂则除之。
〕 余，倍出水除之，即得水深。
〔差为矩幂之广，水深是股。
令此幂得出水一尺为长，故为矩而得葭长也。
〕 加出水数，得葭长。
〔淳风等按：此葭本出水一尺，既见水深，故加出水尺数而得葭长也。
〕 今有立木，系索其末，委地三尺。
引索却行，去本八尺而索尽。
问索长几何？ 答曰：一丈二尺六分尺之一。
术曰：以去本自乘， 〔此以去本八尺为句，所求索者，弦也。
引而索尽、开门去阃者，句及股弦 差，同一术。
去本自乘者，先张矩幂。
〕 令如委数而一。
〔委地者，股弦差也。
以除矩幂，即是股弦并也。
〕 所得，加委地数而半之，即索长。
〔子不可半者，倍其母。
加差者并，则两长。
故又半之。
其减差者并，而半 之，得木长也。
〕 今有垣高一丈，倚木于垣，上与垣齐。
引木却行一尺，其木至地。
问木长几 何？答曰：五丈五寸。
术曰：以垣高一十尺自乘，如却行尺数而一。
所得，以加却行尺数而半之， 即木长数。
〔此以垣高一丈为句，所求倚木者为弦，引却行一尺为股弦差。
为术之意与 系索问同也。
〕 今有圆材埋在壁中，不知大小。
以锯锯之，深一寸，锯道长一尺。
问径几何？ 答曰：材径二尺六寸。
术曰：半锯道自乘， 〔此术以锯道一尺为句，材径为弦，锯深一寸为股弦差之一半。
锯道长是半 也。
淳风等按：下锯深得一寸为半股弦差。
注云为股差差者，锯道也。
〕 如深寸而一，以深寸增之，即材径。
〔亦以半增之。
如上术，本当半之，今此皆同半，故不复半也。
〕 今有开门去阃一尺，不合二寸。
问门广几何？答曰：一丈一寸。
术曰：以去阃一尺自乘。
所得，以不合二寸半之而一。
所得，增不合之半， 即得门广。
〔此去阃一尺为句，半门广为弦，不合二寸以半之，得一寸为股弦差。
求弦， 故当半之。
今次以两弦为广数，故不复半之也。
〕 今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈。
问户高、广各几何？答曰：广 二尺八寸。
高九尺六寸。
术曰：令一丈自乘为实。
半相多，令自乘，倍之，减实。
半其余，以开方除 之。
所得，减相多之半，即户广；加相多之半，即户高。
〔令户广为句，高为股，两隅相去一丈为弦，高多于广六尺八寸为句股差。
按图为位，弦幂适满万寸。
倍之，减句股差幂，开方除之。
其所得即高广并数。
以差减并而半之，即户广。
加相多之数，即户高也。
今此术先求其半。
一丈自乘 为朱幂四、黄幂一。
半差自乘，又倍之，为黄幂四分之二，减实，半其余，有朱 幂二、黄幂四分之一。
其于大方者四分之一。
故开方除之，得高广并数半。
减差 半，得广；加，得户高。
又按：此图幂：句股相并幂而加其差幂，亦减弦幂，为 积。
盖先见其弦，然后知其句与股。
今适等，自乘，亦各为方，合为弦幂。
令半 相多而自乘，倍之，又半并自乘，倍之，亦合为弦幂。
而差数无者，此各自乘之， 而与相乘数，各为门实。
及股长句短，同源而分流焉。
假令句、股各五，弦幂五 十，开方除之，得七尺，有余一，不尽。
假令弦十，其幂有百，半之为句、股二 幂，各得五十，当亦不可开。
故曰：圆三、径一，方五、斜七，虽不正得尽理， 亦可言相近耳。
其句股合而自相乘之幂者，令弦自乘，倍之，为两弦幂，以减之， 其余，开方除之，为句股差。
加于合而半，为股；减差于合而半之，为句。
句、 股、弦即高、广、邪。
其出此图也，其倍弦为袤。
令矩句即为幂，得广即句股差。
其矩句之幂，倍句为从法，开之亦句股差。
以句股差幂减弦幂，半其余，差为从 法，开方除之，即句也。
〕 今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺。
问折者高几何？答曰：四尺二十分尺 之一十一。
术曰：以去本自乘， 〔此去本三尺为句，折之余高为股，以先令句自乘之幂。
〕 令如高而一。
〔凡为高一丈为股弦并，以除此幂得差。
〕 所得，以减竹高而半余，即折者之高也。
〔此术与系索之类更相反覆也。
亦可如上术，令高自乘为股弦并幂，去本自 乘为矩幂，减之，余为实。
倍高为法，则得折之高数也。
〕 今有二人同所立，甲行率七，乙行率三。
乙东行，甲南行十步而斜东北与乙 会。
问甲、乙行各几何？答曰：乙东行一十步半，甲斜行一十四步半及之。
术曰：令七自乘，三亦自乘，并而半之，以为甲斜行率。
斜行率减于七自乘， 余为南行率。
以三乘七为乙东行率。
〔此以南行为句，东行为股，斜行为弦，并句弦率七。
欲引者，当以股率自 乘为幂，如并而一，所得为句弦差率。
加并之半为弦率，以差率减，余为句率。
如是或有分，当通而约之乃定。
术以同使无分母，故令句弦并自乘为朱、黄相连 之方。
股自乘为青幂之矩，以句弦并为袤，差为广。
今有相引之直，加损同上。
其图大体以两弦为袤，句弦并为广。
引黄断其半为弦率。
列用率七自乘者，句弦 并之率。
故弦减之，余为句率。
同立处是中停也，皆句弦并为率，故亦以句率同 其袤也。
〕 置南行十步，以甲斜行率乘之；副置十步，以乙东行率乘之；各自为实。
实 如南行率而一，各得行数。
〔南行十步者，所有见句求见弦、股，故以弦、股率乘，如句率而一。
〕 今有句五步，股十二步。
问句中容方几何？答曰：方三步十七分步之九。
术曰：并句、股为法，句、股相乘为实。
实如法而一，得方一步。
〔句、股相乘为朱、青、黄幂各二。
令黄幂袤于隅中，朱、青各以其类，令 从其两径，共成修之幂：中方黄为广，并句、股为袤。
故并句、股为法。
幂图： 方在句中，则方之两廉各自成小句股，而其相与之势不失本率也。
句面之小句、 股，股面之小句、股各并为中率，令股为中率，并句、股为率，据见句五步而今 有之，得中方也。
复令句为中率，以并句、股为率，据见股十二步而今有之，则 中方又可知。
此则虽不效而法，实有法由生矣。
下容圆率而似今有、衰分言之， 可以见之也。
〕 今有句八步，股一十五步。
问句中容圆径几何？答曰：六步。
术曰：八步为句，十五步为股，为之求弦。
三位并之为法。
以句乘股，倍之 为实。
实如法，得径一步。
〔句、股相乘为图本体，朱、青、黄幂各二。
倍之，则为各四。
可用画于小 纸，分裁邪正之会，令颠倒相补，各以类合，成修幂：圆径为广，并句、股、弦 为袤。
故并句、股、弦以为法。
又以圆大体言之，股中青必令立规于横广，句、 股又邪三径均。
而复连规，从横量度句、股，必合而成小方矣。
又画中弦以规 除会，则句、股之面中央小句股弦：句之小股、股之小句皆小方之面，皆圆径之 半。
其数故可衰。
以句、股、弦为列衰，副并为法。
以句乘未并者，各自为实。
实如法而一，得句面之小股可知也。
以股乘列衰为实，则得股面之小句可知。
言 虽异矣，及其所以成法之实，则同归矣。
则圆径又可以表之差并：句弦差减股 为圆径；又，弦减句股并，余为圆径；以句弦差乘股弦差而倍之，开方除之，亦 圆径也。
〕 今有邑方二百步，各中开门。
出东门一十五步有木。
问出南门几何步而见木？ 答曰：六百六十六步大半步。
术曰：出东门步数为法， 〔以句率为法也。
〕 半邑方自乘为实，实如法得一步。
〔此以出东门十五步为句率，东门南至隅一百步为股率，南门东至隅一百步 为见句步。
欲以见句求股，以为出南门数。
正合半邑方自乘者，股率当乘见句， 此二者数同也。
〕 今有邑东西七里，南北九里，各中开门。
出东门一十五里有木。
问出南门几 何步而见木？答曰：三百一十五步。
术曰：东门南至隅步数，以乘南门东至隅步数为实。
以木去门步数为法。
实 如法而一。
〔此以东门南至隅四里半为句率，出东门一十五里为股率，南门东至隅三里 半为见股。
所问出南门即见股之句。
为术之意，与上同也。
〕 今有邑方不知大小，各中开门。
出北门三十步有木，出西门七百五十步见木。
问邑方几何？答曰：一里。
术曰：令两出门步数相乘，因而四之，为实。
开方除之，即得邑方。
〔按：半邑方，令半方自乘，出门除之，即步。
令二出门相乘，故为半方邑 自乘，居一隅之积分。
因而四之，即得四隅之积分。
故为实，开方除，即邑方也。
〕 今有邑方不知大小，各中开门。
出北门二十步有木，出南门一十四步，折而 西行一千七百七十五步见木。
问邑方几何？答曰：二百五十步。
术曰：以出北门步数乘西行步数，倍之，为实。
〔此以折而西行为股，自木至邑南一十四步为句，以出北门二十步为句率， 北门至西隅为股率，半广数。
故以出北门乘折西行股，以股率乘句之幂。
然此幂 居半，以西行。
故又倍之，合东，尽之也。
〕 并出南、北门步数，为从法，开方除之，即邑方。
〔此术之幂，东西如邑方，南北自木尽邑南十四步之幂，各南北步为广，邑 方为袤，故连两广为从法，并，以为隅外之幂也。
〕 今有邑方一十里，各中开门。
甲、乙俱从邑中央而出：乙东出；甲南出，出 门不知步数，邪向东北，磨邑隅，适与乙会。
率：甲行五，乙行三。
问甲、乙行 各几何？答曰：甲出南门八百步，邪东北行四千八百八十七步半，及乙。
乙东行 四千三百一十二步半。
术曰：令五自乘，三亦自乘，并而半之，为邪行率；邪行率减于五自乘者， 余为南行率；以三乘五为乙东行率。
〔求三率之意与上甲乙同。
〕 置邑方，半之，以南行率乘之，如东行率而一，即得出南门步数。
〔今半方，南门东至隅五里。
半邑者，谓为小股也。
求以为出南门步数。
故 置邑方，半之，以南行句率乘之，如股率而一。
〕 以增邑方半，即南行。
〔半邑者，谓从邑心中停也。
〕 置南行步，求弦者，以邪行率乘之；求东行者，以东行率乘之，各自为实。
实如法，南行率，得一步。
〔此术与上甲乙同。
〕 今有木去人不知远近。
立四表，相去各一丈，令左两表与所望参相直。
从后 右表望之，入前右表三寸。
问木去人几何？答曰：三十三丈三尺三寸少半寸。
术曰：令一丈自乘为实，以三寸为法，实如法而一。
〔此以入前右表三寸为句率，右两表相去一丈为股率，左右两表相去一丈为 见句。
所问木去人者，见句之股。
股率当乘见句，此二率俱一丈，故曰自乘之。
以三寸为法。
实如法得一寸。
〕 今有山居木西，不知其高。
山去木五十三里，木高九丈五尺。
人立木东三里， 望木末适与山峰斜平。
人目高七尺。
问山高几何？答曰：一百六十四丈九尺六寸 太半寸。
术曰：置木高，减人目高七尺， 〔此以木高减人目高七尺，余有八丈八尺，为句率；去人目三里为股率；山 去木五十三里为见股，以求句。
加木之高，故为山高也。
〕 余，以乘五十三里为实。
以人去木三里为法。
实如法而一。
所得，加木高， 即山高。
〔此术句股之义。
〕 今有井，径五尺，不知其深。
立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸。
问井深几何？答曰：五丈七尺五寸。
术曰：置井径五尺，以入径四寸减之，余，以乘立木五尺为实。
以入径四寸 为法。
实如法得一寸。
〔此以入径四寸为句率，立木五尺为股率，井径之余四尺六寸为见句。
问井 深者，见句之股也。
〕 今有户不知高、广，竿不知长短。
横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出。
问户高、广、邪各几何？答曰：广六尺。
高八尺。
邪一丈。
术曰：从、横不出相乘，倍，而开方除之。
所得，加从不出，即户广； 〔此以户广为句，户高为股，户邪为弦。
凡句之在股，或矩于表，或方于里。
连之者举表矩而端之。
又从句方里令为青矩之表，未满黄方。
满此方则两端之邪 重于隅中，各以股弦差为广，句弦差为袤。
故两端差相乘，又倍之，则成黄方之 幂。
开方除之，得黄方之面。
其外之青知，亦以股弦差为广。
故以股弦差加，则 为句也。
〕 加横不出，即户高；两不出加之，得户邪。